反應曲面法(Response Surface Methodology)

反應曲面法 Response Surface Methodology
所屬類別 ALSM http://www.ats.ucla.edu/STAT/examples/alsm/default.htm

說明
結合了特定數學與統計方法之集合所衍生出的方法論，目的在協助研究人員對科學系統或工業製程中最佳產品設計、製程改善、系統最佳化等問題提供一套分析、求解程序

歷史
  1951 Box和Wilson共同進行數學模式的建立與推導
  1966 Hill和Hunter等相關研究下，其理論模式的建立與應用已趨於完整
  1966-1988 相關延伸的研究包含了探討模式的穩健性（robustness）、可旋轉性 （rotatability）、直交性（orthogonality）、最佳化設計（optimal design）與自變數高度相關（multicollinearity）等因子實驗或混和實驗（mixture experiment）中常見問題，以及反應曲面法分析中之正規分析（canonical analysis）、脊線分析（ridge analysis, RA）與雙反應曲面系統（dual response system, DRS）等，此一古典RSM研究成果在往後成為實務用於求解最適實驗設計或作業條件的有利工具，普遍應用於電子、機械、農業、化學工業、生物科技、材料科 學、食品科學及工業製程改善等各項研究領域中，
  1980 由於電腦模擬技巧（computer simulation）應用於決策科學上漸受歡迎，RSM亦成為分析複雜系統中重要影響變數的一項工具，
  2000後 多反應值最佳化設計（multi -response optimal design）與多反應值共同最佳化問題（multi-response simultaneous optimization）成為RSM研究的主流。


使用流程
 一般來說，執行RSM大致分為兩階段，
 第一階段稱為反應曲面設計階段（response surface design），
 第二階段稱為反應曲面最佳化階段（response surface optimization）。

第一階段中，RSM運用數學模式（迴歸分析）、統計分析與實驗設計之技術，探討獨立變數與反應變數之間的數學模式關係，經由實驗設計使實驗者在所關切的實驗區域內（interest of experimental region）以有系統的方式進行實驗，取得所需的反應值與變數值，在此依照實驗環境或是實際條件發展出（或應用）最適化反應曲面設計、獲得最適化實務模型便是本階段最重要的議題。

收集資料後以最小平方法（least squares estimation, LSE）配適一階迴歸模型(first-order model)，以尋找出一個適當近似的函數，

採用迴歸分析的顯著性檢定（general linear test approach） 來瞭解獨立變數與反應變數間的關係強弱，並檢定配適的模式是否恰當（statistical adequacy）。   
當實驗區域接近最佳反應值附近時，真實反應曲面的曲率（curvature）會增加，這時需要利用 曲率模式來配適反應曲面。

從一階模式到二階模式的過程中，使用缺適性檢定(lack of fit test)來檢視一階模式的適當性與曲率是否顯著。
若在此操作水準附近區域內發現曲率為顯著則考慮二階模式（second-order or so-called quadratic model），
同樣的，我們需要檢定二階模式的適當性。

當這個二階迴歸模式配適良好時，
便可以利用這二階模式來求得最適操作水準（optimal operating conditions）與最佳反應值（optimal response level），
並依照實際需要求取最大值或最小值

第二階段， 可稱為反應曲面分析（response surface analysis）或是反應曲面最佳化（response surface optimization），

先選定一個起始點（或是現行操作水準（current operating conditions）），決定中心點與每一實驗因子的水準範圍(factor level)，
在有興趣的實驗區域內進行因子或部分因子實驗，紀錄反應值並配適一階模型，

利用最陡下降(上升)法(steepest descent/ascent method)決定反應曲面最佳搜尋方向，直到反應值無法再改善為止，
以此組操作水準為新的實驗中心點，並重複實驗步驟，往最佳反應曲面的方向逼近，並且執行線性模式之缺適性檢定，
一旦發現一階迴歸模型不適合時，表示此時應採用更複雜的數學模式來進行分析。

如果選擇二階模式配適實驗資料時，一般進行中央合成設計實驗(central composite design，CCD)或是 三水準因子設計（three-level factorial design），
利用原本的部分因子或全因子設計，加上軸點(axial point)及中心點(central points)合成為一個中央合成設計實驗，
 增加軸點的設計是為了使模式中 純二次項(pure quadratic terms)能夠有足夠自由度（相互獨立資料數）來估計參數，
 增加中心點是為了檢測曲率並提供估計純誤差項（pure error），用於執行迴歸分析中檢定之用。

在配適、檢定二階模型完成之後，就進行反應曲面分析，指在目前實驗區域中，以實際不同情況（或製程限制）針對反應曲面系統作深入探討。
此時可利用正規分析或脊線分析等技術來進一步瞭解穩定點（stationary point）之數學特性，
其發現為鞍點(saddle point) 則需進行更進一步的脊線分析，並配合2D或3D反應曲面圖（或輪廓圖）的協助，
若二階模式配適時仍存在缺適性之問題，則可以求得局部最佳操作狀態或再進而配適更高之迴歸模式，如三次（cubic）或四次（quartic）模型。

優缺點
RSM之研究問題，一般假設問題為限制性之最佳化問題，
而目標函數的確切型式是未知的，在應用上主要存在下列 二項限制：
 (1) 只適用於連續性的系統，是假設所有反應值與獨立變數的量測刻度是連續性的；
 (2) 影響系統之獨立變數（可控制和不可控制變數）是屬於計量性。
RSM一般在 此前提的假設與應用系統的限制下，可有效地求得最佳實驗或作業變數值。

反應曲面法在處理未知函數曲面的情況裡，可以有效降低實驗次數，
得到多個獨立變數與某個反應變數的近似函數關係，求得最佳反應值與最佳的實驗情況，其 優點如下:
（1） 經濟性原則：
反應曲面法可以使用部分因子設計或特殊反應曲面設計（如混種設計等（hybrid design）），以較少的實驗成本及時間獲得不錯且有效的資訊。
（2） 深入探討因子間交互作用影響：
反應曲面法可以經由分析與配適模式來研究因子間的交互作用，並且進而討論多因子對反應變數影響的程度。
（3） 獲得最適化的條件：
根據數學理論求得最適的實驗情況，同時利用配適反應方程式繪出模式三度空間曲面圖與等高線圖，觀察並分析出最適的操作條件。

引用文獻
http://www.qrc.nthu.edu.tw/QRC/studyQ/RSM/rsm.htm